文章目录
1、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0极限存在的充要条件2、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0连续的充要条件3、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0可微3.1一元函数可导的充要条件3.2多元函数偏导的定义
4、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0连续可微
1、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0极限存在的充要条件
f(x)在点
x
0
x_0
x0存在极限并不要求f(x)在该点有定义，只需要在点
x
0
x_0
x0存在左右极限且相等。
2、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0连续的充要条件
需要函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0极限存在且等于
f
(
x
0
)
f(x_0)
f(x0)
3、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0可微
实际上，多元函数没有"可导"一说，因为多元函数在某一点
x
0
x_0
x0有多个变量，那么只能说对某个变量
x
0
i
x_0^i
x0i可偏导。如果在这点的所有变量的偏导数都存在且连续，则说多元函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0可微，但是反过来，函数可微不一定能推出便导数连续。
3.1一元函数可导的充要条件
一元函数可导的充要条件左右导数存在且相等 对于一元函数来说，就一个（偏）导数，故而一元函数可微与可导是等价的。
3.2多元函数偏导的定义
若
f
(
x
)
f(x)
f(x)对
x
0
x_0
x0中第一个变量
x
0
1
x_0^1
x01求偏导，则将其他所有的变量都当成常数，这时候直接对
x
0
1
x_0^1
x01进行求导即可。
多元函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0可微的充分条件是
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0的
n
n
n个偏导数都存在且连续。
4、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x)在点
x
0
x_0
x0连续可微
令函数是在开区间上可微的，若函数的导函数是开区间上的连续函数，则称函数在开区间上连续可微，记作连续可微。 **因为偏导数连续能推出可微，然而可微并不能推出偏导数连续。**因为存在偏导数不连续也可微的函数，所以连续可微与可微的区别就是，连续可微函数的偏导数一定连续，而可微函数就不一定了。
有以下关系：
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